\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{系统的状态}

	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4 \linewidth]{1}
		\caption{a. 一个粒子 b. $N$个粒子}
		\label{fig:1}
	\end{figure}
	
	\footnote{本文是任延宇《分析力学》网课的学习笔记。参考：朗道《力学》、刘川《理论力学》}
	我们先考虑一个很简单的问题：如何描述三维空间中，一个自由粒子的状态（图\ref{fig:1} a）？
	我们知道，三维空间中的粒子可以在$x,y,z$方向上运动，因此我们说粒子具有$3$个自由度；
	要确定粒子的状态，我们就得分别知道粒子在这些自由度上的位置和速度，
	因此，只要分别确定粒子在$x,y,z$这$3$个自由度上的位置与速度共$6$个量，就可以确定这个粒子的状态。
	$$
	(\bvec r, \bvec v) = (x, y, z, v_x, v_y, v_z)
	$$
	
	这个描述很容易拓展到具有N个粒子的系统（图\ref{fig:1} b）：
	由于系统中每一个粒子都可以在$x,y,z$方向上运动，因此系统一共有 $3N$个自由度；
	所以，系统的状态由每个粒子在每个自由度上的位置与速度共$6N$个量确定。
	$$
	(\bvec r_1, \bvec v_1, \bvec r_2, \bvec v_2,...) = (x_1, y_1, z_1, v_{x1}, v_{y1}, v_{z1}, ...)
	$$

	为什么非得知道位置和速度？
	图\ref{fig:3} a, b 展现了初始位置相同、但是初速度不同的系统的演化。即使系统中各个粒子的初始位置相同，但若初始速度不同，那么系统随后的变化也会很不一样。
	因此，光是知道各粒子的位置还不足以完全确定系统的状态。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4 \linewidth]{3}
		\caption{系统的演化与初速度有关}
		\label{fig:3}
	\end{figure}
	
	\newpage
	
	\section{约束}
	\textsl{我一个画画的朋友告诉我，画人体时重要的是把握人体的骨骼；一旦骨骼的位置确定了，人物的总体造型也就确定了。}


	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4 \linewidth]{2}
		\caption{受约束的系统 a. 刚体 b.杠杆}
		\label{fig:2}
	\end{figure}
	然而很多情况下，粒子的运动不是完全自由的、而有所约束。
	
	比如说，我们先假定系统中所有的粒子都被胶水黏在了一起，以至于他们只能作为一个整体运动。（图 \ref{fig:2} a）
	尽管我们仍然可以分别描述系统中各个粒子，但这已经没有太大意义：
	我们只要知道系统整体在$x,y,z$上的平动，以及绕$x,y,z$轴的转动，就足够了。
	也就是说，原先具有$3N$自由度的系统，由于约束的存在，现在只具有$6$自由度。这就是刚体模型。
	
	再比如说，考虑一个跷跷板：两个粒子被黏在杠杆的两端，而杠杆的中心又被固定在转轴上。（图 \ref{fig:2} b）
	这个系统只有$1$个自由度，即绕转轴的转动，而非$3\times 2= 6$个自由度。
	Feynman 曾经（在《物理学讲义》中）用其说明虚功原理。

	可见，约束的存在大大减少了系统的自由度。一般而言，系统自由度与约束的关系：
	 $$s = 3N- f$$ 
	 其中$s$是系统自由度，$f$是约束的个数。虽然这个公式看起来很漂亮，但用到的机会实则不多。
	
	\section{广义坐标与广义速度}
	如上文所述，由于约束的存在大大减少了系统的自由度，
	我们往往不需要真的去描述系统中各个粒子的位置与速度这$6N$个量，
	而只需要描述系统在$s$个自由度上的位置与速度这“真正必要”的$2s$个量，就足以确定系统的状态，
	我们将其分别称为广义坐标$q$、广义速度$q'$。
	我们之前说“刚体的整体平移”、“杠杆的转角”，就可以充当广义坐标。
	$$
	(\bvec r_1, \bvec v_1, \bvec r_2, \bvec v_2,...) \Rightarrow (q_1, q_1', q_2, q'_2,...)
	$$
	援引Landau的定义，“对于 s 个自由度的系统，可以完全刻画其位置的任意 $s$个变量 $q_1,q_2, ..., q_s$ 称为该系统的广义坐标，其导数$q_i' = \dv{q}{t}$ 则称为广义速度”；
	并且Landau进一步阐明，“同时给定系统的所有广义坐标和速度，就可以确定系统的状态，并且原则上也可以预测以后的运动”。
	
	广义坐标、广义速度具有更深刻的含义。如刘川所说，全体广义坐标“是一个完整约束力学系统所有独立的自由度的一个最小集合”，
	我们或许得解释一下其中的丰厚内涵：
	\begin{itemize}
		\item “系统”：广义坐标描述的总是整个系统，而非其中单独某个粒子；
		\item “所有”：	所选取的广义坐标与广义速度应能完整确定系统的状态；
		\item “独立”：广义坐标可以相对独立变化而不相互干扰，比如$q_1$的改变不应该直接改变$q_2$。这让我们想到正交基的概念。
		数学地说，这意味着 $q_i = q_i(t),q_i' = q_i'(t) $，广义坐标、广义速度只显含时，而不显含其他广义坐标。
	\end{itemize}
	
	广义坐标的选取不是唯一的，但有些选法有助于简化问题；
	对于同一个问题，广义坐标的个数应该是一定的、等于自由度的个数。

	回忆一下广义坐标的由来，我们就会发现广义坐标根源于系统的约束。
	选取广义坐标便需要细致分析系统中的约束，而这往往是问题中\textsl{最需要灵性}的部分。
	系统中复杂的约束关系就此被包装入\textsl{看似人畜无害}的广义坐标。
	
	\section{广义坐标、广义速度与其他物理量}
	既然广义坐标、广义速度确定了系统的状态，那么系统的任意物理量都应该能被广义坐标、广义速度表达：
	\begin{itemize}
		\item 各粒子坐标（位矢）$\bvec r_i = \bvec r_i(q_1, q_2,...,t)$ 位矢不显含广义速度
		\item 各粒子速度 $\bvec v_i = \bvec v_i(q_1, q_2,...,q_1', q_2',...,t)$
		\item 系统动能 $T = T(q_1, q_2,...,q_1', q_2',...,t)$
		\item 系统势能 $V = V(q_1, q_2,...,t)$ 势能不显含广义速度
		\item ...
	\end{itemize}
	当然，其具体形式取决于具体问题，以及广义坐标的选取。
	
	不过，本文只考虑了一类最简单的约束。比如说，如果粒子间不是这种刚性约束，而是电磁力这类“软约束”，那么情况会复杂得多。我们很难像这里一样，得到一些非常简洁的广义坐标。

\end{document}
